『読んで面白い』『検索で来てもガッカリさせない』『おまけに見やすい』以上、三カ条を掲げた〜快文書〜創作プロフェッショナル共が、心底読み手を意識した娯楽文芸エンターテイメントを提供。映画評論から小説、漢詩、アートまでなんでもアリ。嘗てのカルチャー雑誌を彷彿とさせるカオスなひと時を、是非、御笑覧下さいませ。
No.115
2009/10/30 (Fri) 01:10:03
整数論をあまり勉強したことがないが、次のような問題をときおりいじくりまわして遊んでいる。
自然数nに対して、n自身を除くその約数の全ての和をS(n)と書くことにする。
ただしS(1)は定義しない。
例えば8のそれ自身を除く約数は1,2,4だから、S(8)=1+2+4=7。
また6のそれ自身を除く約数は1,2,3だから、S(6)=1+2+3=6。
また12のそれ自身を除く約数は1,2,3,4,6だから、S(12)=1+2+3+4+6=16。
8の場合のように、S(n)＜nとなるnを輸数とよび、
6の場合のように、S(n)＝nとなるnを完全数とよび、
12の場合のように、S(n)＞nとなるnを豊数とよぶ。
1でない自然数nに対して、S(n)= mとなる自然数mがただ一つ存在する。このとき「n → m」（または「m ← n」）と書くことにする。
(注1)
n に対してS(n)= mとなる m はただ一つだから、相異なる m,m' に対し「n → m かつ n → m'」となることはない。
一方、S(64)=1+2+4+8+16+32=63,S(177)=1+3+59=63だから、
64→63,177→63。
つまり、相異なるn,n' に対し「n → mかつn' → m」となることはある。□
このようにして、全ての自然数を「点」とし、→を「辺」とする「無限有向グラフ」が作られる。
つまり、平面に全ての自然数が散らばっていて、自然数相互が→でつながっているイメージ。
自然数m,nに対し、m = m_0,m_1,m_2,...,m_k = n (k≧0)なる自然数の列があって、各i= 1,...,k に対し、m_{i-1}とm_iが→または←でつながっている状態のとき、「m～n」と書くことにする。
m～nであるというのは、mから矢印の列をたどっていくとnに到達する、というイメージ。
m～nの「～」という関係は同値関係である。すなわち
1)任意の自然数mに対してm～m,
2)m～nならばn～m,
3)k～mかつm～nならば、k～n。
従って関係「～」で自然数全体を同値類別できる。1つの同値類に属する自然数が形作っているグラフを「連結成分」とよぶことにする。点nの属する連結成分は、nから「→,←」という辺をたどって到達できる点（自然数）全体のなす塊り、というイメージ。つまり異なる連結成分どうしは辺でつながっておらず、自然数全体が連結成分によってきれいに区分けされている。
■問題1
連結成分は無数に存在するか。□
m=m_0→ m_1 → m_2 →...→ m_k = m (k≧1)
（ただし「i＞0またはk＞j」でi≠jのとき、m_i ≠ m_j）
となっているとき、m_0, m_1,...,m_kは、長さkのループをなすという（つまりmから始まって→でk回進むと、またmに戻るということ）。
mが長さ1のループをなすということは、m = m_0 → m_1 = m だからm → m,すなわちS(m)=mで、mが完全数であることを意味している。
m,nが長さ2のループをなしているとき（つまりm → n → m）、m,nは友愛数とよばれる。
つまりm,nが友愛数であるとは、m ≠ nであって「S(m)=nかつS(n)=m」がなりたつことである。
例えば、S(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, S(284)=1+2+4+71+142=220,よって「220と284」は友愛数である。
（長さ3以上のループをなす自然数たちを「社交数」とよぶこともあるらしいが、あまり一般的なネーミングではないようだ。）
■命題1
1つの連結成分の中に、ループがあるとすればただ1つ。
(∵) 1つの連結成分の中にループが2つあったとし、m,nをその各々のループに属する自然数とする。m～nだから、
m = m_0, m_1, m_2, ..., m_k = n (k≧0)
なる自然数の列があって、各i=1,...,kに対し、m_{i-1}とm_iが→または←でつながっていなければならない。今k>1とすると、m_1,...,m_{k-1}はループに属さない点としてよい。mはループに属する点m' に対してm → m'だから、上の(注1)によりm ← m_1でなければならない。同様に、n←m_{k-1}でなければならない。これより1≦i≦k-1なるあるiに対して、m_{i-1}← m_i → m_{i+1}となっていなければならないが、これは(注1)からありえない。同様にk=0,1の場合も矛盾する。□
この命題1から、ループが無限個存在すれば、連結成分も無限個存在することになり、問題1は解決する。
そこで次のような問題も考えられる。
■問題2
任意の自然数kに対して、長さkのループは存在するか。
存在するとすれば、いくつあるか（無限個存在するか）。□
長さ1のループ（すなわち完全数）が無数に存在するかどうかはまだ知られていない（と思う。たとえばメルセンヌ数が無数に存在することがわかれば解決する）。
長さ2のループ（すなわち友愛数）が無数に存在するかどうかもまだ知られていない（と思う）。
長さ3以上のループに関しても、同様に未知ではないだろうか。
■問題3
m_0 → m_1 → m_2 → m_3 →... (ただしi≠jならm_i≠m_j)
なる無限列は存在するか。□
与えられたnに対し、S(m)=nとなるようなmは、複数存在することもあり、また存在しないこともある。
例えば、S(m)=2となるようなmや、 S(m)=5となるようなmは存在しない。
■問題4
与えられたnに対し、S(m)=nとなるようなmをすべて求める一般的な方法は？ □
(注2)
n=p_1^r_1×p_2^r_2×...×p_k^r_k
のように素因数分解されているとき（ただしp_1,...,p_kは相異なる素数）、
S(n)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^r_1)(1+p_2+p_2^2+...+p_2^r_2)...(1+p_k+p_k^2+...+p_k^r_k)-n
と書ける。□
(注3）
pが素数ならば、S(p)=1。従って全ての素数pに対し、p → 1。つまり1に向かって、無限個の辺が伸びている。
そして無限個の辺が集まっている点は1のみ。実際、与えられたn(≠1)に対して、n → mなるmはただ1つで、n ← kなるkがいくつありえるかを考えてみると、kのそれ自身をのぞく約数の和がnだから、逆に見れば、nを相異なる自然数の和に分割するある仕方に（ただ1つの）kが対応している。ところがnを相異なる自然数の和に分割する仕方は有限個しかない。従ってn ← kなるkは有限個しかない。□
(c) 2009 ntr ,all rights reserved.
自然数nに対して、n自身を除くその約数の全ての和をS(n)と書くことにする。
ただしS(1)は定義しない。
例えば8のそれ自身を除く約数は1,2,4だから、S(8)=1+2+4=7。
また6のそれ自身を除く約数は1,2,3だから、S(6)=1+2+3=6。
また12のそれ自身を除く約数は1,2,3,4,6だから、S(12)=1+2+3+4+6=16。
8の場合のように、S(n)＜nとなるnを輸数とよび、
6の場合のように、S(n)＝nとなるnを完全数とよび、
12の場合のように、S(n)＞nとなるnを豊数とよぶ。
1でない自然数nに対して、S(n)= mとなる自然数mがただ一つ存在する。このとき「n → m」（または「m ← n」）と書くことにする。
(注1)
n に対してS(n)= mとなる m はただ一つだから、相異なる m,m' に対し「n → m かつ n → m'」となることはない。
一方、S(64)=1+2+4+8+16+32=63,S(177)=1+3+59=63だから、
64→63,177→63。
つまり、相異なるn,n' に対し「n → mかつn' → m」となることはある。□
このようにして、全ての自然数を「点」とし、→を「辺」とする「無限有向グラフ」が作られる。
つまり、平面に全ての自然数が散らばっていて、自然数相互が→でつながっているイメージ。
自然数m,nに対し、m = m_0,m_1,m_2,...,m_k = n (k≧0)なる自然数の列があって、各i= 1,...,k に対し、m_{i-1}とm_iが→または←でつながっている状態のとき、「m～n」と書くことにする。
m～nであるというのは、mから矢印の列をたどっていくとnに到達する、というイメージ。
m～nの「～」という関係は同値関係である。すなわち
1)任意の自然数mに対してm～m,
2)m～nならばn～m,
3)k～mかつm～nならば、k～n。
従って関係「～」で自然数全体を同値類別できる。1つの同値類に属する自然数が形作っているグラフを「連結成分」とよぶことにする。点nの属する連結成分は、nから「→,←」という辺をたどって到達できる点（自然数）全体のなす塊り、というイメージ。つまり異なる連結成分どうしは辺でつながっておらず、自然数全体が連結成分によってきれいに区分けされている。
■問題1
連結成分は無数に存在するか。□
m=m_0→ m_1 → m_2 →...→ m_k = m (k≧1)
（ただし「i＞0またはk＞j」でi≠jのとき、m_i ≠ m_j）
となっているとき、m_0, m_1,...,m_kは、長さkのループをなすという（つまりmから始まって→でk回進むと、またmに戻るということ）。
mが長さ1のループをなすということは、m = m_0 → m_1 = m だからm → m,すなわちS(m)=mで、mが完全数であることを意味している。
m,nが長さ2のループをなしているとき（つまりm → n → m）、m,nは友愛数とよばれる。
つまりm,nが友愛数であるとは、m ≠ nであって「S(m)=nかつS(n)=m」がなりたつことである。
例えば、S(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, S(284)=1+2+4+71+142=220,よって「220と284」は友愛数である。
（長さ3以上のループをなす自然数たちを「社交数」とよぶこともあるらしいが、あまり一般的なネーミングではないようだ。）
■命題1
1つの連結成分の中に、ループがあるとすればただ1つ。
(∵) 1つの連結成分の中にループが2つあったとし、m,nをその各々のループに属する自然数とする。m～nだから、
m = m_0, m_1, m_2, ..., m_k = n (k≧0)
なる自然数の列があって、各i=1,...,kに対し、m_{i-1}とm_iが→または←でつながっていなければならない。今k>1とすると、m_1,...,m_{k-1}はループに属さない点としてよい。mはループに属する点m' に対してm → m'だから、上の(注1)によりm ← m_1でなければならない。同様に、n←m_{k-1}でなければならない。これより1≦i≦k-1なるあるiに対して、m_{i-1}← m_i → m_{i+1}となっていなければならないが、これは(注1)からありえない。同様にk=0,1の場合も矛盾する。□
この命題1から、ループが無限個存在すれば、連結成分も無限個存在することになり、問題1は解決する。
そこで次のような問題も考えられる。
■問題2
任意の自然数kに対して、長さkのループは存在するか。
存在するとすれば、いくつあるか（無限個存在するか）。□
長さ1のループ（すなわち完全数）が無数に存在するかどうかはまだ知られていない（と思う。たとえばメルセンヌ数が無数に存在することがわかれば解決する）。
長さ2のループ（すなわち友愛数）が無数に存在するかどうかもまだ知られていない（と思う）。
長さ3以上のループに関しても、同様に未知ではないだろうか。
■問題3
m_0 → m_1 → m_2 → m_3 →... (ただしi≠jならm_i≠m_j)
なる無限列は存在するか。□
与えられたnに対し、S(m)=nとなるようなmは、複数存在することもあり、また存在しないこともある。
例えば、S(m)=2となるようなmや、 S(m)=5となるようなmは存在しない。
■問題4
与えられたnに対し、S(m)=nとなるようなmをすべて求める一般的な方法は？ □
(注2)
n=p_1^r_1×p_2^r_2×...×p_k^r_k
のように素因数分解されているとき（ただしp_1,...,p_kは相異なる素数）、
S(n)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^r_1)(1+p_2+p_2^2+...+p_2^r_2)...(1+p_k+p_k^2+...+p_k^r_k)-n
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(注3）
pが素数ならば、S(p)=1。従って全ての素数pに対し、p → 1。つまり1に向かって、無限個の辺が伸びている。
そして無限個の辺が集まっている点は1のみ。実際、与えられたn(≠1)に対して、n → mなるmはただ1つで、n ← kなるkがいくつありえるかを考えてみると、kのそれ自身をのぞく約数の和がnだから、逆に見れば、nを相異なる自然数の和に分割するある仕方に（ただ1つの）kが対応している。ところがnを相異なる自然数の和に分割する仕方は有限個しかない。従ってn ← kなるkは有限個しかない。□
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目次
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執筆陣
ＨＮ：
快文書作成ユニット（仮）
自己紹介：
各々が皆、此の侭座して野に埋もるるには余りに口惜しい、正に不世出の文芸家を自称しております次第。以下、【快文書館】（仮）が誇る精鋭を御紹介します。
❁ ntr 〜 またの名を中村震。小説、エッセイ、漢詩などを書きます。mixiでも活動。ふだん高校で数学を教えているため、数学や科学について書くこともあります。試験的にハヤカワ・ポケット・ブックSFのレビューを始めてみました。
❖ 呂仁為 Ⅱ 〜 昭和の想い出話や親しみやすい時代物、歴史小説などについて書きます。
✿ 流火-rjuka- ～ 主に漢詩の創作、訳詩などを行っています。架空言語による詩も今後作りたいと思っています。
☃ ちゅうごくさるなし
主に小説を書きます。気が向けば弟のカヲスな物語や、独り言呟きなことを書くかもしれません。
♘ ED-209 〜 ブログ引っ越しました。
☠ 杏仁ブルマ
セカイノハテから覗くモノ
我ら一同、只管に【快文書】を綴るのみ。お気に入りの本の頁をめくる感覚で、ゆるりとお楽しみ頂ければ僥倖に御座居ます。
※ 基本的に当ページはリンクフリーです。然し乍ら見易さ追求の為、相互には承っておりません。悪しからず御了承下さい。※
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☃ ちゅうごくさるなし
主に小説を書きます。気が向けば弟のカヲスな物語や、独り言呟きなことを書くかもしれません。
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