高校生は数学の問題を解くときに、図を描くのを嫌がる場合が多い。
たとえば「AB=15, BC=16, CA=9 である三角形ABCにおいて、円が内接し、円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれ P, Q, R とする。このときARの長さを求めよ」というような問題を最近やった。そこでいきなり式を書き始める愚かな生徒がいる。この図を描けば左の図のようになる。
図が描ければ、AR = x とおけば、円と接線の性質からAQ = AR = x , BP = BR = 15-x , CP = CQ = 9-x となることが見て取れる。よって BC = BP + CP = (15-x)+(9-x) =24-2x となり、したがって16 = 24 -2x となり、これを解いて x = 4 , つまりAR = 4 となる。

四角形の内接円にこの話を使うと、真ん中の図の四角形ABCD について、AB + CD = BC + DA　という式が成り立つ。
なぜなら、円と辺 AB, BC, CD, DA との接点をP, Q, R, S とすると、AP = AS = x , BP = BQ = y , CQ = CR = z , DR = DS = w とおける。このとき
AB + CD = x + y + z + w , BC + DA = y + z + w + x
となるから AB + CD = BC + DAである。
あとでこのことを使って、円に外接する四角形の面積を求める公式を証明しよう。

まず一般の四角形の面積の公式を証明しよう。右の図の a, b, c, d を４辺とする四角形において、a と b とにはさまれた角を E , c と d とにはさまれた角をF とする。このとき四角形の面積を K とすると
K^2 = ( s - a )( s - b )( s - c )( s - d ) – abcd cos^2(( E + F )/2 )　(1)
（ただし s = ( a+b+c+d )/2 ）
がなりたつ。これを証明するために、E, F 以外の２つの角を結ぶ四角形の対角線の長さを n とする。余弦定理から
a^2 + b^2 – 2ab cos E = n^2 = c^2 + d^2 – 2cd cos F .
よって
a^2 + b^2 – c^2 – d^2 = 2ab cos E – 2cd cos F .　(2)
いっぽうで
K = (1/2)ab sin E + (1/2)cd sin F .
したがって
4K = 2ab sin E + 2cd sin F .　(3)
(2), (3) の両辺を２乗して加えると
( a^2 + b^2 – c^2 – d^2 )^2 +16K^2
= 4a^2 b^2 cos^2 E – 8abcd cos E cos F + 4c^2 d^2 co2^2 F + 4a^2 b^2 sin^2 E + 8abcd sin E sin F + 4c^2 d^2 sin^2 F
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 – 8abcd (cos E cos F - sin E sin F)
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 – 8abcd cos ( E+F )
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 – 8abcd( 2cos^2 ((E+F)/2) – 1)
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 + 8abcd – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( 2ab + 2cd )^2 – 16abcd cos^2 ((E+F)/2) .
したがって
16K^2 = ( 2ab + 2cd )^2 – ( a^2 + b^2 – c^2 – d^2 )^2 – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( 2ab + 2cd + a^2 + b^2 – c^2 – d^2 )( 2ab + 2cd －a^2 －b^2 + c^2 + d^2 ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( ( a + b )^2 – ( c - d )^2 )( ( c + d )^2 – ( a – b)^2 ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( a + b + c – d )( a + b – c + d )( c + d + a – b )( c + d – a + b ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( 2s – 2d )( 2s – 2c )( 2s – 2b )( 2s – 2a ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2) .

よって結局一般の四角形について
K^2 = ( s –a )( s – b )( s – c )( s – d ) – abcd cos^2(( E + F )/2 ).

ここで円に外接する四角形の場合、上で述べたように　
a + c = b + d
が成り立つから
s – a = ( a + b + c + d )/2 – a = ( －a + b + c + d )/2 = ( －a + c + b + d )/2 = ( －a + c +a + c )/2 = 2c/2 = c .
同様にして s – b = d , s – c = a , s – d = b となるから (1) はこの場合
K^2 = ( s –a )( s – b )( s – c )( s – d ) – abcd cos^2(( E + F )/2 )
= abcd – abcd cos^2(( E + F )/2 )
これより
K^2= abcd sin^2(( E + F )/2)　(4)
を得る。

ところで円に内接する四角形の場合、E + F = 180°だから(1)より
K^2 = ( s – a )( s – b )( s – c )( s – d )　(5)
となる。この(5)はブラーマグプタの定理とも呼ばれる。
ここで d = 0 とすると、三角形の面積を求めるいわゆるヘロンの公式
K^2 = s( s – a )( s – b )( s – c )　(6)
が得られる。
また円に内接しかつ外接する四角形の場合、(4) に E + F = 180°を代入して
K^2 = abcd　(7)
というきれいな式が成り立つ。


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十二世紀ペルシャの詩人，オマル・ハイヤームの詩を
漢詩に訳してみました。



　人生何處有休息，　人生何れの処か　休息有らん

　漠漠長程幾日終。　漠漠たる長程　幾れの日か終らん

　但願千年萬歳後，　ただ願う　千年　万歳の後　

　一條芳草發泥中。　一条の芳草　泥中に発するを


　ああ　休める場所があったらなあ
　この長い旅路に終わりがあったらなあ
　千年万年も経たあとに　土の中から
　草のように芽を吹く望みがあったらなあ！

　＊ペルシャ語原文（ローマ字表記）
　Ei kaash ke jaay aaramidan budi,
　Yaa in rah-e dur raa rasidan budi.
　Kaash az pey-e sad o hezaar saal az del-e khaak
　Chon sabz-e omid-e bar-damidan budi.


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