環

集合 R の要素 a, b に対し、和 a+b および積 ab が定められていて、次の(1)～(8)が満たされているとき、R を環（かん）という。

(1) a+(b+c) = (a+b)+c 　(a, b, c は R の任意の要素）,
(2) 0 なる R の要素があって、R の任意の要素 a に対して a+0 = 0+a = a ,
(3) R の任意の要素 a に対し -a なる R の要素が存在して a+(-a) = (-a)+a = 0 ,
(4) a+b = b+a 　(a, b は R の任意の要素）,
(5) a(bc) = (ab)c ,
(6) 1 なる R の要素が存在して、任意の R の要素 a に対し a1 = 1a = a ,
(7) a(b+c) = ab+ac　 (a, b, c は R の任意の要素）,
(8) (a+b)c = ac+bc 　(a, b, c は R の任意の要素）.

つまり環 R は和 a+b について加群であって、積 ab について (5)(6) を満たし、和と積が(7)(8)の関係（分配法則と呼ばれる）によって結びついているような集合である。
ここで 0 を R の零元、1 を R の単位元と呼ぶ。
とくに積について、どんな R の要素 a, b についても ab = ba となっているとき、R は可換環（かかんかん）と呼ばれる。

整数全体の集合 Z は通常の和と積で可換環となっている。

また前回登場した
Z/kZ = { kZ, 1+kZ, 2+kZ, 3+kZ, ... , (k-1)+kZ } 　（k は整数）
は、次のように和と積を定めることによって可換環となる。

(a+kZ)+(b+kZ) = (a+b)+kZ ,
(a+kZ)(b+kZ) = ab+kZ .

Z/kZの零元は kZ であり、単位元は 1+kZ である：
(a+kZ)+kZ = kZ+(a+kZ) = a+kZ , (a+kZ)(1+kZ) = (1+kZ)(a+kZ) = a+kZ （a は任意の整数）.


一般に環 R の要素 a に対して ab = ba = 1 となる要素 b は存在しないが、それが存在する場合、要素 a のことを R の単元という。R の単元だけを集めた集合を R°とかくとき、R°は積 ab に関して群となる。
実際この積は上の(5)(6)を満たし、R°の定義から

(*)　R°の任意の要素 a に対し ab = ba = 1 となるR °の要素 b が存在する

が成り立ち、(5)(6)(*) は R°が群であることを示している。
R°のことを環 R の単元群 という。


体

可換環 R の 0 以外の要素がすべて単元であるとき、R を体（たい）という。
すなわち R が体であるとは、R の和と積について上の(1)～(8)が満たされ、さらに

(9) ab = ba （a,b は R の任意の要素）,
(10) R の 0 でない任意の要素 a に対し ab = ba = 1 となる要素 b が存在する

が成り立つことである。

有理数全体の集合 Q は通常の和と積で体となっている。

可換環 Z/kZ が体となる条件を考えるために、次の定理を証明しておく。

定理2　整数 a_1, a_2, ... , a_n に対し、多項式
　P = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n
を考える。x_1, x_2, ... , x_n のおのおのが整数全体の値をとって変化するとき、P のとりうる値は a_1, a_2, ... , a_n の最大公約数の倍数全体である。

証明　x_1, x_2, ... , x_n のおのおのが整数全体の値をとって変化するとき、P が値としてとる最小の正整数を m とする。いま
　a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = m
であるとして、任意の n 個の整数 y_1, y_2, ... , y_n に対し
　a_1y_1 + a_2y_2 + ... + a_ny_n = t
となったとする。ここで t を m で割ったときの余りを r とする。つまり
　t = mq + r ( 0≦r＜m )
なる整数 q , r をとる。このとき
　a_1(y_1-qx_1) + a_2(y_2-qx_2) + ... + a_n(y_n-qx_n) = r
となるが、m の最小性により r = 0 でなければならない。したがって t は m の倍数で、整数 y_1, y_2, ... , y_n は任意だったから、P のとりうる値はつねに m の倍数である。ここで P が m の倍数全体をとりうることは明らかだろう。
このとき x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 0, ... , x_n = 0 とすると P = a_1 だから a_1 は m の倍数である。同様にして a_2, a_3, ... , a_n はすべて m の倍数となる。つまり m は a_1, ... , a_n の公約数である。逆に
　a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = m
であるときを考えると a_1, ... , a_n の公約数はつねに m を割り切る。したがって m はa_1, ... , a_n の最大公約数でなければならない。　　（証明終り）


この定理から、次のことが分かる。

系　整数 a, b の最大公約数が 1 であるとき、ax + by = 1 となるような整数 x, y がとれる。

とくに p が素数であれば、p の倍数でないどんな整数 a に対しても ax + py = 1 となる整数 x, y が存在する。

そこで素数 p に対して可換環 Z/pZ を考えてみよう。Z/pZ の任意の要素 a+pZ (ただし a は p の倍数ではない) に対し、ax + py = 1 となる整数 x, y をとると
(a+pZ)(x+pZ) = ax+pZ = (1-py)+pZ = 1+p(-y)+pZ = { 1+p(-y)+pz | z ∈Z } = { 1+p(-y+z) | z∈Z} = { 1+pn | n∈Z } = 1+pZ
となり、a+pZ　は Z/pZ の単元である。a+pZ は零元でない Z/pZ の任意の要素だったから、Z/pZ は体である。
すなわち p が素数のとき、Z/pZ は体となる。

Z/pZ の零元 pZ 以外はすべて単元なのだから、Z/pZ の単元群はそこから pZ だけを取り除いた
　(Z/pZ)°= { 1+pZ, 　2+pZ, ... , (p-1)+pZ }
となる。


フェルマーの小定理

さてフェルマーの小定理を証明するために、群の話に戻ろう。
有限群 G の要素の個数 #G を G の位数といった。ところが位数という言葉にはもう一つ意味があり、そのことを以下に説明する。

有限群 G の要素 g に対しその m 個の積を g^m とかくことにすると、ある正整数 n に対し g^n = e となる（ e は G の単位元）。なぜなら G は有限群なのだから、g, g^2, g^3, ... , g^m, ... の中には必ず同じものが含まれていなければならない。つまり異なる正整数 s, t に対し g^s = g^t となるはずで、s＞t とすると、この式の右から g^(-1) を t 回かけることにより g^(s-t) = e となる。
そこで g に対し g^n =e となる最小の正整数 n を g の位数と呼び、ord(g) で表す。

さて有限群 G の要素 g に対し ord(g) = n であったとする。このとき集合
　　{ e, g, g^2, g^3, ... , g^(n-1) }
を＜g＞で表し、これは G の部分群となる。なぜなら＜g＞の要素 g^s, g^t に対し (g^s)(g^t) = g^(s+t) となるが、s+t = nq+r ( 0≦r＜n ) なる整数 q, r をとると
　(g^s)(g^t) = g^(nq+r) = (g^nq)(g^r) = ((g^n)^q)(g^r)
= (e^q)(g^r) = eg^r = g^r
となり、これは＜g＞の要素である。また の要素 g^s に対し、(g^s)(g^(n-s)) = g^n = e であるから (g^s)^(-1) = g^(n-s) で、これも＜g＞の要素である。つまり＜g＞は G の部分群である（これを g で生成された G の部分群という）。

さていま #＜g＞= n だから、前々回のラグランジュの定理により n は #G の約数である。よって #G = N とすると、g^n = e より g^N = e である。g は任意だったから、G のどんな要素も #G 回乗じると単位元となることが分かる。

さて Z/pZ の単元群
　(Z/pZ)°= { 1+pZ, 　2+pZ, ... , (p-1)+pZ }
に話を戻そう。#(Z/pZ)°= p-1 であるから、上の議論によって (Z/pZ)°の任意の要素 a+pZ に対し

(**)　 (a+pZ)^(p-1) = 1+pZ　すなわち　a^(p-1)+pZ = 1+pZ

となる。
ここで a は a+pZ = k+pZ (k = 1, 2, ... ,p-1) を満たしていればよいから、p で割り切れない任意の整数と考えてよい。(**)の第2式を変形すると
　a^(p-1)-1+pZ = pZ
で、これは a^(p-1)-1 が pZ の要素であること、すなわち a^(p-1)-1 が p で割り切れることを意味している。よって


フェルマーの小定理
整数x が素数 p で割り切れないとき、x^(p-1)-1 は p で割り切れる。


が証明された。


註：これはフェルマーの小定理の群論的証明と呼ばれるもので、もっと初等的に短く証明することも出来る。


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剰余群

A,B が群 G の部分集合であるとき、集合 AB を
　AB = { ab | a∈A, b∈B }
でさだめよう。

さて前回ラグランジュの定理の証明の中で、G が有限群、H がその部分群であるとき、G は互いに共通部分を持たないような分割
G = g_1H ∪ g_2H ∪… ∪g_mH
を持つと言った。そこで g_1H, g_2H, ... ,g_mH を要素とするような集合を G/H と書き、G の H による剰余類集合とよぶ：
G/H = { g_1H, g_2H, ... ,g_mH }
この剰余類集合 G/H が群になっていたら面白いのだけど、そのためには部分群 H がある条件を満たす必要がある。

群 G の部分群 H が次の条件を満たすとき、H を G の正規部分群という：
　G のどんな要素 g に対しても gH = Hg .

ここで、もちろん
　gH = { gh | h∈H } , Hg = { hg | h∈H }
である。H が G の正規部分群であることを H ⊲ G と書くこともある。


定理1. H が G の 正規部分群であれば、剰余類集合 G/H は群をなす。このとき G/H を G の H による剰余群という。

証明 G/H の要素 aH と bH の積は、H が正規部分群であることから、
　(aH)(bH) = a(Hb)H = a(bH)H = (ab)HH
ここで HH = { gh | g∈H, h∈H } であるが、H は群だからその中の2つの要素の積は H に属している。したがって HH⊂ H. しかし H は単位元 e を含んでいるから、H = { eh | h∈H } ⊂ HH. したがって HH = H となり、上の式に戻ると
　(aH)(bH) = (ab)HH = (ab)H = abH.
また
(1) G/H の要素 aH, bH, cH に対して
　((aH)(bH))(cH) = (abH)(cH) = (ab)cH = a(bc)H = (aH)(bcH) = (aH)((bH)(cH)),
(2) G/H のどんな要素 aH に対しても
　(aH)H = a(HH) = aH , H(aH) = (Ha)H = (aH)H = a(HH) = aH,
(3) G/H のどんな要素 aH に対しても
(aH)(a^(-1)H) = a(Ha^(-1))H = a(a^(-1)H)H = (aa^(-1))HH = eHH = eH = H,
　同様に (a^(-1)H)(aH) = H,　
がなりたつ。つまり G/H は群である。　　（証明終り）

(2)を見ると H が剰余群 G/H の単位元であり、a^(-1)H が aH の逆元である事がわかる。


さて群 G の算法 ∘ が、G のどんな要素 a, b に対しても「交換法則」
　a∘b = b∘a
を満たしているとき、G をアーベル群とよぶ。この場合、算法 ∘ を記号 ＋ で書くことが多い：a + b = b + a.

しかし実数 m, n に対して「掛け算」も
　m × n = n × m
のように交換法則を満たすではないか、では掛け算も「＋」で書くのか、と思われるかもしれないが、実数の掛け算は例外的に　m × n , または mn のように記す習慣である。

G がアーベル群で算法が ＋ で書かれているとき、G の部分集合 H が G の部分群であるための条件は
　H のどんな要素 a, b に対しても a + b ∈ H , -a ∈ H
となることである。このときアーベル群 G の H による剰余類集合は、
　G/H = { g_1+H , g_2+H , ... , g_m+H }
のように記される。アーベル群 G の部分群 H はつねに正規部分群である。というのも、G のどんな要素 g に対しても
　g + H = { g + h | h∈H } = { h + g | h∈H } = H + g
となるから。したがって G/H は剰余群となり、また次の算法でアーベル群となる。
　(a + H) + (b + H) = (a + b)+ H .
G/H の単位元は H, また a + H の逆元は (-a) + H である。



さて、自然数全体の集合を N, 整数全体の集合を Z, 有理数全体の集合を Q, 実数全体の集合を R, 複素数全体の集合を C で表すことが多い。

整数全体の集合 Z が通常の「足し算」で群になっていることは容易にわかる。つまり
(1) Z のどんな要素 a, b, c に対しても　
　(a + b) + c = a + (b + c),
(2) Z のどんな要素 a に対しても
　a + 0 = 0 + a = a,
(3) Z のどんな要素 a に対しても
　a + (-a) = (-a) + a = 0,
が成り立つ。Z を足し算で群となっていると見るとき、群 Z を加法群（または加群）とよぶ。
(2)より加法群 Z の単位元は 0 であり、a の逆元は -a である。
加法群 Z はアーベル群である、つまり Z のどんな要素 a, b に対しても
　a + b = b + a.

Z の要素 k に対して
kZ = { kn | n∈Z }
とすると、kZ は k の倍数全体からなる集合である。たとえば
　2Z = { 2n | n∈Z } = { 0, ±2, ±4, ±6. ±8, ... }
は偶数全体の集合、
　3Z = { 3n | n∈Z } = { 0, ±3, ±6, ±9. ±12, ... }
は 3 の倍数全体の集合である。
さて Z の要素 k に対して kZ は、加法群 Z の部分群となる。実際
　kZ の要素 ka, kb に対して ka + kb = k(a + b) ∈ kZ, -ka = k(-a) ∈ kZ
となるからである。さて上述のことから kZ は Z の正規部分群で Z/kZ は剰余群となる。
　Z/kZ = { kZ , 1+kZ , 2+kZ , 3+kZ , ... }
しかし
k+kZ = { k+kn| n∈Z } = { k(1+n)| n∈Z } = { k(1+n)| 1+n∈Z } = kZ ,
(k+1)+kZ = (1+k)+kZ = 1+(k+kZ) = 1+kZ ,
同様に (k+2)+kZ = 2+kZ , (k+3)+kZ = 3+kZ , ...
となるから、Z/kZ は結局
　Z/kZ = { kZ , 1+kZ , 2+kZ , 3+kZ , ... , (k-1)+kZ }
と k 個の要素からなる。ところで 1+kZ という名前は長いから、これを 1~ とも書くことにする。つまり
　Z/kZ = { 0~, 1~, 2~, 3~, ... , (k-1)~ }.
Z/kZ での算法は、Z/kZ の要素 a~, b~ に対し
　a~+ b~ = (a + b)~
で定められる。

ところでいま整数 a, b に対し、a-b ∈ kZ とする。このとき a-b = kn となるような整数 n がある。このとき a = b + kn だから a ∈ b+kZ. よって前回のラグランジュの定理の証明から、a+kZ = b+kZ となる。まとめると、
　a-b ∈ kZ　ならば a~ = b~.
一般に a-b ∈ kZ であることを
　a ≡ b (mod k)
と書くことも多い。


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下記のフェルマーの小定理を証明することを目標に、代数の基本的な概念である群、環、体について話をしていこうと思う。

フェルマーの小定理
整数 x が素数 p で割り切れないとき、x^(p-1)-1 は p で割り切れる。


記号の準備　

Aが集合であるとき、a が Aの要素であることを a∈A とかく。
A と B が集合であるとき
A、B いずれにも含まれる要素全体からなる集合を A∩B で表し、AとBの共通部分という。
A、Bを合わせた集合を A∪B で表し、AとBの和集合という。
要素が一つもない集合を ∅ で表し、空集合という。
とくに A∩B= ∅ は、AとBに共通な要素が一つもないことを表す。
集合Aが集合Bに含まれているとき、AはBの部分集合であるといい、A⊂Bで表す。
A⊂B かつ A⊃B であるとき A = B であることに注意しておく。
集合Aに属する要素の個数を #A で表す。


群

G が集合であって、Gの要素 a, b に対し a∘ｂなるGの要素が定まるとする。
次の(1)、(2)、(3)が成り立つとき、Gは算法 ∘ に関して群をなすという。
(1) Gのどんな要素 a, b, c に対しても a∘(b∘c) = (a∘b)∘c ,
(2) e というGの要素があって、Gのどんな要素 a に対しても a∘e = e∘a = a ,
(3) Gのどんな要素 a に対しても要素 b が存在して a∘b = b∘a = e .

(2)のe をGの単位元という。(3)の b を a の逆元といい、a^(-1) で表す。
一般にGの要素a, b に対し a∘b = b∘a が成り立つとは限らない。

群Gの部分集合Hが、算法 ∘ に関して群となっているとき、HをGの部分群とよび、H＜Gと表す。
HがGの部分群であるための条件は、Hの任意の要素k, h に対し
　ｋ∘h∈H , 　k^(-1)∈H
が成り立つことである。
群Gの要素は無限にある場合も考えられるが、以下では有限個の要素からなる群（有限群）を考える。有限群Gの要素の個数 #G は、とくに Gの位数と呼ばれる。
以下算法の記号 ∘ は省略し、a∘b を ab と表すことにする。


ラグランジュの定理

Gを有限群とする。HがGの部分群であるとき、Hの位数 #H はGの位数 #G を割り切る。

証明　a∈G のとき集合 aHを
aH = { ah | h∈H }
によって定義しよう。b∈aH であるとき aH = bH であることに注意する。というのも、b∈aH であるならaHの定義によって b = ak となるHの要素 k がある。よって bH = akH = a(kH) である。ところで kとHの要素をかけ合わせればそれはHの要素になるから ｋH⊂H . 同じ議論によって k^(-1)H⊂H. この両辺に ｋ を左からかければ H⊂ｋH. したがってkH = H となる。よって先ほどの議論に戻ればbH = akH = a(kH) = aH.
いま、pH と qH に集合として共通部分がある、つまり pH∩qH ≠ ∅ であるとする。このとき
pH∩qH にはある要素 r が存在する。r は pH の要素だから r = pg（gはHのある要素）と書け、またr はqH の要素でもあるから r = qh（hはHのある要素）と書ける。
このとき pg = qh だから右からh^(-１)をかけると pgh^(-1) = q . gh^(-1)はHの要素だから q = pgh^(-1) はpH の要素である。したがって上の注意から pH = qH となる。つまりもし
pH ≠ qH だったとすると、 pH∩qH = ∅ となるはずで、 pH と qH はまったく共通部分を持たないことになる。
以上のこととGの要素が有限個であることを考え合わせると、Gは互いに共通部分を持たないような分割
G = g_1H ∪ g_2H ∪… ∪g_mH
を持つはずである（ここではGはm個の集合に分割されている）。よって #H = n とすると、
#G = mn . つまり #G は #Hで割り切れる。　　　（証明終り）


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