高校生は数学の問題を解くときに、図を描くのを嫌がる場合が多い。
たとえば「AB=15, BC=16, CA=9 である三角形ABCにおいて、円が内接し、円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれ P, Q, R とする。このときARの長さを求めよ」というような問題を最近やった。そこでいきなり式を書き始める愚かな生徒がいる。この図を描けば左の図のようになる。
図が描ければ、AR = x とおけば、円と接線の性質からAQ = AR = x , BP = BR = 15-x , CP = CQ = 9-x となることが見て取れる。よって BC = BP + CP = (15-x)+(9-x) =24-2x となり、したがって16 = 24 -2x となり、これを解いて x = 4 , つまりAR = 4 となる。

四角形の内接円にこの話を使うと、真ん中の図の四角形ABCD について、AB + CD = BC + DA　という式が成り立つ。
なぜなら、円と辺 AB, BC, CD, DA との接点をP, Q, R, S とすると、AP = AS = x , BP = BQ = y , CQ = CR = z , DR = DS = w とおける。このとき
AB + CD = x + y + z + w , BC + DA = y + z + w + x
となるから AB + CD = BC + DAである。
あとでこのことを使って、円に外接する四角形の面積を求める公式を証明しよう。

まず一般の四角形の面積の公式を証明しよう。右の図の a, b, c, d を４辺とする四角形において、a と b とにはさまれた角を E , c と d とにはさまれた角をF とする。このとき四角形の面積を K とすると
K^2 = ( s - a )( s - b )( s - c )( s - d ) – abcd cos^2(( E + F )/2 )　(1)
（ただし s = ( a+b+c+d )/2 ）
がなりたつ。これを証明するために、E, F 以外の２つの角を結ぶ四角形の対角線の長さを n とする。余弦定理から
a^2 + b^2 – 2ab cos E = n^2 = c^2 + d^2 – 2cd cos F .
よって
a^2 + b^2 – c^2 – d^2 = 2ab cos E – 2cd cos F .　(2)
いっぽうで
K = (1/2)ab sin E + (1/2)cd sin F .
したがって
4K = 2ab sin E + 2cd sin F .　(3)
(2), (3) の両辺を２乗して加えると
( a^2 + b^2 – c^2 – d^2 )^2 +16K^2
= 4a^2 b^2 cos^2 E – 8abcd cos E cos F + 4c^2 d^2 co2^2 F + 4a^2 b^2 sin^2 E + 8abcd sin E sin F + 4c^2 d^2 sin^2 F
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 – 8abcd (cos E cos F - sin E sin F)
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 – 8abcd cos ( E+F )
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 – 8abcd( 2cos^2 ((E+F)/2) – 1)
= 4a^2 b^2 + 4c^2 d^2 + 8abcd – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( 2ab + 2cd )^2 – 16abcd cos^2 ((E+F)/2) .
したがって
16K^2 = ( 2ab + 2cd )^2 – ( a^2 + b^2 – c^2 – d^2 )^2 – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( 2ab + 2cd + a^2 + b^2 – c^2 – d^2 )( 2ab + 2cd －a^2 －b^2 + c^2 + d^2 ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( ( a + b )^2 – ( c - d )^2 )( ( c + d )^2 – ( a – b)^2 ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( a + b + c – d )( a + b – c + d )( c + d + a – b )( c + d – a + b ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2)
= ( 2s – 2d )( 2s – 2c )( 2s – 2b )( 2s – 2a ) – 16abcd cos^2 ((E+F)/2) .

よって結局一般の四角形について
K^2 = ( s –a )( s – b )( s – c )( s – d ) – abcd cos^2(( E + F )/2 ).

ここで円に外接する四角形の場合、上で述べたように　
a + c = b + d
が成り立つから
s – a = ( a + b + c + d )/2 – a = ( －a + b + c + d )/2 = ( －a + c + b + d )/2 = ( －a + c +a + c )/2 = 2c/2 = c .
同様にして s – b = d , s – c = a , s – d = b となるから (1) はこの場合
K^2 = ( s –a )( s – b )( s – c )( s – d ) – abcd cos^2(( E + F )/2 )
= abcd – abcd cos^2(( E + F )/2 )
これより
K^2= abcd sin^2(( E + F )/2)　(4)
を得る。

ところで円に内接する四角形の場合、E + F = 180°だから(1)より
K^2 = ( s – a )( s – b )( s – c )( s – d )　(5)
となる。この(5)はブラーマグプタの定理とも呼ばれる。
ここで d = 0 とすると、三角形の面積を求めるいわゆるヘロンの公式
K^2 = s( s – a )( s – b )( s – c )　(6)
が得られる。
また円に内接しかつ外接する四角形の場合、(4) に E + F = 180°を代入して
K^2 = abcd　(7)
というきれいな式が成り立つ。


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